Formulaire PanaMaths (CPGE)
Formules de Taylor
Dans ce document, on adopte la
convention d’écriture : .
Soit f une
application d’un intervalle I dans (ou, plus généralement, dans un espace
vectoriel normé E). Soit a un élément de I.
Si
f est n fois dérivable en a, alors il existe un
intervalle inclus dans I tel que pour tout x
de
on a :
Remarque : avec
ou
dans le cas où f est à valeur dans un
espace vectoriel normé E.
Soit f une application
d’un intervalle dans un espace vectoriel normé E et
soit n un entier naturel non nul.
Si
f est de classe sur I et si la dérivée
existe et est majorée sur
(
), alors on a :
Dans le cas où l’espace vectoriel
normé E est ,
on peut préciser le résultat précédent. C’est la formule de Taylor-Lagrange.
Soit f une
application d’un intervalle dans
.
Si
f est de classe sur I et si
existe sur
,
alors il existe un réel c dans
tel que :
Toujours dans le cas où et en ayant des hypothèses plus fortes sur f,
on va pouvoir écrire le reste sous forme d’une intégrale.