Formulaire PanaMaths (CPGE)
Formules de Taylor
Dans ce document, on adopte la
convention d’écriture : .
Formule locale : le développement de Taylor-Young
Soit f une
application d’un intervalle I dans (ou, plus généralement, dans un espace
vectoriel normé E). Soit a un élément de I.
Si
f est n fois dérivable en a, alors il existe un
intervalle inclus dans I tel que pour tout x
de
on a :
Remarque : avec
ou
dans le cas où f est à valeur dans un
espace vectoriel normé E.
Formules globales
Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit f une application
d’un intervalle dans un espace vectoriel normé E et
soit n un entier naturel non nul.
Si
f est de classe sur I et si la dérivée
existe et est majorée sur
(
), alors on a :
Formule de Taylor-Lagrange
Dans le cas où l’espace vectoriel
normé E est ,
on peut préciser le résultat précédent. C’est la formule de Taylor-Lagrange.
Soit f une
application d’un intervalle dans
.
Si
f est de classe sur I et si
existe sur
,
alors il existe un réel c dans
tel que :
Formule de Taylor avec reste intégral
Toujours dans le cas où et en ayant des hypothèses plus fortes sur f,
on va pouvoir écrire le reste sous forme d’une intégrale.
Soit f une
application d’un intervalle dans
.
Si
f est de classe sur I alors on a :