Formulaire PanaMaths (Terminale S)
Les complexes
Dans tout ce qui suit, le plan est
rapporté à un repère orthonormal .
Le nombre i
Formes d’un nombre complexe et représentation géométrique
Forme algébrique
Où et
désignent respectivement la « partie
réelle » et la « partie imaginaire » du nombre complexe z.
Forme trigonométrique
Où désigne le « module » du nombre
complexe z et
(défini modulo
) désigne son « argument » :
ou
.
Forme complexe
Représentation géométrique
Dans le plan complexe, à ,
on associe le point M de coordonnées
.
On dit que le nombre complexe z est l’« affixe » du point M.
et
Conjugaison
Définition
Propriétés
Pour tout complexe z :
z
réel
z
imaginaire pur
Pour tous complexes z
et :
Pour tout complexe z et tout entier naturel n :
Pour tous complexes z
et ,
z étant non nul :
Propriétés du module
Pour tout complexe z :
Pour tous complexes z et :
(inégalité triangulaire)
Pour tout complexe z et tout entier naturel n :
Pour tous complexes z
et ,
z étant non nul :
Pour tous points M et P du plan complexe d’affixes respectives m et p :
Propriétés de l’argument
Pour tout complexe z :
z
réel
z
imaginaire pur
Pour tout complexe z :
Pour tous complexes z et :
Pour tout complexe z et tout entier naturel n :
Pour tous complexes z
et ,
z étant non nul :
Pour tous points M et P du plan complexe d’affixes respectives m et p :
Formule de Moivre
Pour tout réel et tout entier naturel n :
Soit :
Géométrie
Equation paramétrique d’un cercle
Soit le cercle de centre
,
d’affixe
,
et de rayon R.
Pour tout point M, d’affixe z, du plan complexe on a :
Transformations du plan
Dans ce qui suit, on considère une transformation du plan. A
tout point M d’affixe z, cette transformation associe le point d’affixe
.
Translation
On considère ici la translation de vecteur d’affixe a.
Homothétie
On considère ici l’homothétie h de centre ,
d’affixe
,
et de rapport k.
Rotation
On considère ici la rotation de centre ,
d’affixe
,
et d’angle de mesure
.
Equation du second degré
Soit l’équation :
Où a, b et c sont des réels, a étant non nul.
Le discriminant vaut :
.
·
Si ,
admet une seule solution
:
·
Si ,
admet deux solutions réelles :
et
;
·
Si ,
admet deux solutions complexes :
et
.