Fiche PanaMaths (Terminale ES) à Suites numériques

 

 

 

à La notion de fonction ;

à La résolution des équation du 1^er et du 2^nd degré ;

à Le calcul fractionnaire.

 

 

 

1.      Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels . Pour la suite u, on écrira donc :

2.      a. Les suites sont généralement désignées par les lettres u, v, w …

b. La variable est généralement notée n.

Dans ces conditions, la suite u est notée  (notation la plus classique) ou  ;

c. L’image de n par la suite u est notée  (on lit « u indice n » ou « u de n ») plutôt que  et on dit que  est un terme de la suite  ;

3.      Remarques :

·        En tant que fonction, une suite n’est pas nécessairement définie pour toute valeur de la variable n. Ainsi, la suite  définie par :  n’est pas définie pour .

·        Si la suite  est définie pour toute valeur de n,  est le n + 1ème terme de la suite.

4.      Définition explicite d’une suite : on dit qu’une suite  est définie explicitement lorsque  est donné en fonction de n :  avec f définie au moins sur .

Par exemple :  où f est la fonction définie sur  par : .

Dans ce cas, on peut immédiatement calculer  pour n’importe quelle valeur de n appartenant à l’ensemble de définition de la fonction f.

5.      Définition par récurrence d’une suite : on dit que la suite  est définie par récurrence lorsque l’on dispose :

                                                (i)      D’un terme de la suite (en général, mais pas systématiquement,  ) ;

                                              (ii)      D’une relation entre  et le terme qui le précède (à savoir  ). Cette relation est appelée « relation de récurrence ».

 

Par exemple :  et

Dans ce cas, le calcul de  requiert de calculer tous les termes précédents (à savoir :  ).

 

6.      Sens de variation d’une suite :

Si, pour toute valeur de n on a :

·        , on dit que la suite  est « constante » ;

·        , on dit que la suite  est « croissante » ;

·        , on dit que la suite  est « décroissante ».

 

7.      Suite arithmétique :

Définition explicite :

Définition par récurrence :

Le réel « r » est appelée « raison » de la suite .

Propriété (1) : pour tous entiers n et m, on a :

Propriété (2) :

En particulier, avec la suite  définie par , on a :

 

8.      Suite géométrique :

Définition explicite :

Définition par récurrence :

Le réel « q » est appelée « raison » de la suite .

Propriété (1) : pour tous entiers n et m, on a :

Propriété (2) : si , on a :

En particulier, avec  (  ), on a :

 

 

 

 

1. Modéliser une situation à l’aide d’une suite ;

 

2. Calculer un terme donné d’une suite que celle-ci soit définie explicitement ou par récurrence ;


3. Etudier le sens de variation d’une suite.

Pour ce faire, vous disposez de trois méthodes :

                                      i.      Etude du sens de variation de la fonction f si  est définie explicitement ;

                                     ii.      Etude du signe de la différence

1.   Si, pour tout n, on a :  alors  est constante ;

2.   Si, pour tout n, on a :  alors  est croissante ;

3.   Si, pour tout n, on a :  alors  est décroissante.

                                   iii.      Etude du rapport  (pour une suite  telle que  pour tout n)

1.   Si, pour tout n, on a :  alors  est constante ;

2.   Si, pour tout n, on a :  alors  est croissante ;

3.   Si, pour tout n, on a :  alors  est décroissante.

 

4. Déterminer le premier terme et la raison d’une suite arithmétique ou géométrique connaissant deux termes de cette suite ;

 

5. Calculer la somme des n + 1 premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique ;

(Sur ce point, nous déconseillons d’apprendre par cœur les formules du cours : il est préférable de bien comprendre la façon dont on les obtient et d’être capable de les retrouver soi-même …)

 

 

 

• Même si c’est une évidence, gardez présent à l’esprit que la variable n appartient à  ! Elle ne peut donc prendre que des valeurs entières positives.
• Soyez attentifs(ves) ! Une suite n’est pas nécessairement définie pour toute valeur de n : il faut avoir le réflexe de déterminer les éventuelles valeurs de n posant problème ;
• Les notations sont nouvelles et il existe plusieurs notations pour une seule et même notion :
• u,  ou  pour la suite ;
•  ou  pour le terme d’indice n (ou image de n par u).
• Toute suite constante est une suite arithmétique de raison  et une suite géométrique de raison  (soit dit en passant, les suites constantes sont les seules suites qui sont à la fois arithmétiques et géométriques !) ;