Les règles de calcul sur les puissances d’exposants entiers ;

 La fonction exponentielle.

 

 

 

1.      La définition de  avec a réel strictement positif et b réel :

 

 

 

2.      Les conséquences immédiates de la définition précédente :

Pour tout a réel strictement positif et tout b réel, on a :

 

·         ;

·        .

 

3.      Les propriétés algébriques suivantes :

·        Pour tout réel a strictement positif et tous réels b et b’ :

 

 

 

·        Pour tous réels a et a’ strictement positifs et tout réel b :

 

 

 

4.      La définition de la racine nième d’une nombre réel positif :

La racine nième (n entier naturel non nul) du nombre réel positif a est l’unique réel positif b dont la puissance nième est égale à a (soit  ).

On a :

 

 

 La racine nième du nombre réel positif a peut également être notée :  ;

 Pour tout entier naturel non nul n, on a : .

 

Un exemple simple : la racine quatrième de 625 vaut 5 car .

 

5.      La notion de moyenne géométrique de n nombres positifs :

On considère , , …,  n réels positifs.

La moyenne géométrique  de ces n réels est la racine nième de leur produit :

 

 

 

6.      La définition de la fonction exponentielle de base a (  ) définie sur  par :

 

 

 

On a :  

 

On doit alors distinguer (et maîtriser !) les trois situations suivantes :

·         

La fonction f est alors constante et prend la valeur 1 sur .

·         

La fonction f est strictement croissante sur  et on a :

 et  

·         

La fonction f est strictement décroissante sur  et on a :

 et  

 

Remarques :

·        Dans tous les cas, on note que l’on a :  ; les courbes représentatives des fonctions exponentielles de base a passent donc toutes par le point de coordonnées  ;

·        Avec , on retrouve la fonction exponentielle. Celle-ci est donc, rigoureusement, la fonction exponentielle de base e.

 

 

 

1.      D’abord, et c’est essentiel, vous devez savoir vous servir de votre calculatrice !

Vous devez être capable de saisir un calcul comme  et en donner une valeur approchée à ,  ou toute autre précision demandée ou requise (avec le nombre ci-dessus, on obtient respectivement  et  ).

2.      Vous devez maîtriser les deux écritures  et  : parfois la première sera plus intéressante, parfois ce sera la seconde …

3.      Vous devez savoir extraire (à la calculatrice) la racine nième d’un nombre. Comme cas particulier vous devez savoir déterminer la moyenne géométrique de n nombres positifs (par exemple avec l’objectif de déterminer un taux de croissance moyen …).

4.      Vous devez savoir étudier une fonction qui comporte une fonction exponentielle.

 

 

 

• La notation
  
   avec b réel n’a de sens dans le cas général que pour
  
   ! Mais dans le cas particulier où b est un entier, a peut être négatif :
  
  .
• N’alourdissez pas inutilement vos calculs : lorsque l’exposant est entier, on est dans une situation à priori simple et familière ! Par exemple, il ne sera probablement pas très intéressant de remplacer
  
   par
  
   …
• Le comportement de la fonction exponentielle
  
   dépend de la valeur de a !

Confrontés à une telle fonction, votre premier réflexe doit être « a est-il plus grand ou plus petit que 1 ? ».