La notion d’intervalle (ouvert, fermé, …) ;

 Les fonctions usuelles (affine, inverse, racine carrée, puissance) ;

 Le calcul fractionnaire ;

 

 

 

1. La notion de « taux de variation d’une fonction f entre deux valeurs a et b » (
   
    ) :

 

On peut toujours poser :  (comme , on a  ) et le taux de variation s’écrit alors :

 

2. La notion de « nombre dérivé d’une fonction f pour une valeur donnée a » : c’est, lorsqu’elle existe, la limite du taux de variation de la fonction f entre les valeurs a et a + h :

 

Lorsqu’une fonction f admet un nombre dérivé pour une valeur donnée a, on dit que « la fonction f est dérivable en a » et on note :

 

3. Lorsqu’une fonction f est dérivable en a,
   
    est le coefficient directeur de la tangente au point
   
    du graphe de f et l’équation réduite de la tangente au graphe de f en A s’écrit (les deux formes sont équivalentes) :

 

 

ou

 

 

4. Lorsqu’une fonction f est dérivable pour toute valeur d’un intervalle I donné, on dit que « la fonction f est dérivable sur I » et la fonction définie sur I par :
   
    est appelée « fonction dérivée de f sur l’intervalle I » ;

 

 

5.      Les fonctions polynômes, la fonction inverse, la fonction racine carrée et les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leurs ensembles de définition.

 

6.      Les fonctions dérivées des fonctions usuelles :

 

 

 

7. Les règles de dérivation suivantes :

·        Dérivée d’une somme/d’une différence :

Si on a  sur un intervalle I sur lequel les fonctions f et g sont dérivables alors la fonction h est dérivable sur l’intervalle I et on a, pour toute valeur x de I :

 

·        Dérivée d’un produit :

Si on a  sur un intervalle I sur lequel les fonctions f et g sont dérivables alors la fonction h est dérivable sur l’intervalle I et on a, pour toute valeur x de I :

 

·        Dérivée d’un rapport :

Si on a  sur un intervalle I sur lequel les fonctions f et g sont dérivables et sur lequel la fonction g ne s’annule pas alors la fonction h est dérivable sur l’intervalle I et on a, pour toute valeur x de I :

 

 

 

Si, en particulier, on prend au numérateur la fonction constante égale à l’unité, on obtient la formule donnant la dérivée de l’inverse d’une fonction :

 

 

·        Dérivée d’une composée :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si g est une fonction dérivable sur un intervalle contenant , alors f suivie de g (on la note  ) est dérivable sur I et on a :

 

 

Soulignons les cas particuliers suivants :

o       Si f est dérivable sur I et prend des valeurs strictement positives alors  est dérivable sur I et on a :

 

o       Si f est dérivable sur I alors  est également dérivable sur I et on a :

 

o       Si n est un entier non nul et si f est dérivable sur I (et si, lorsque n est négatif, f ne s’annule pas sur I) alors  est également dérivable sur I et on a :

 

o       Si f est dérivable sur I et prend des valeurs strictement positives alors  est également dérivable sur I et on a :

 

 

 

 

 

1. Calculer le taux de variation d’une fonction donnée f entre deux valeurs a et b ;
2. Déterminer la valeur de
   
    lorsque la fonction f est dérivable en a ;
3. Déterminer la fonction dérivée
   
    d’une fonction f dérivable sur un intervalle I donné ;
4. Déterminer l’équation de la tangente au graphe de la fonction f au point
   
   , la fonction f étant dérivable en a ;
5. Mettre en œuvre les notions ci-dessus dans les cas suivants :
• Calcul d’une vitesse moyenne (taux de variation) et d’une vitesse instantanée (nombre dérivé) ;
• Calcul approché d’un nombre en utilisant l’approximation :

 lorsque h est petit par rapport à a

Par exemple, si l’on souhaite déterminer une valeur approchée de , on considère la fonction inverse ,  et . Comme la dérivée de la fonction inverse est la fonction , on peut écrire :

 

 

• Autres calculs approchés (économie) :

                                                              i.      Calcul du coût marginal d’une production :

On suppose que le coût de fabrication d’une quantité x d’un bien est donné par une fonction . Le « coût marginal de production d’une unité supplémentaire » pour une production donnée x est la différence . Comme x est en général grand par rapport à 1, on a l’approximation :  

                                                            ii.      Calcul d’une valeur approchée du pourcentage de variation correspondant à n hausses successives :

On suppose qu’une grandeur subit n augmentations successives de t% chacune, le pourcentage t étant petit par rapport à 1.

Alors, le pourcentage global d’augmentation de la grandeur vaut environ : nt%.

 

Remarque : bien que vous sachiez que le pourcentage d’augmentation correspondant à deux hausses successives de 2% ne vaut pas 4% (cf le cours relatif aux pourcentages), le calcul sur les dérivées justifie en revanche que cette valeur puisse être considérée comme une approximation acceptable !

 

 

 

• Ne pas oublier de justifier la dérivabilité d’une fonction avant d’en calculer la dérivée !
• Les formules donnant les dérivées du rapport de deux fonctions ou de l’inverse d’une fonction font apparaître des signes « - » qu’il ne faut absolument pas oublier !
• Lorsque vous effectuez un calcul de nombre dérivée dans le cadre d’un problème, vous devez préciser, en guise de conclusion de votre calcul, l’unité associée à ce nombre. Ainsi, dans le cas d’une vitesse instantanée, l’unité pourra être le km/h (ou kmh^-1), le km/s (ou kms^-1), … ;