On écrit f sous forme exponentielle. On doit réfléchir aux ordres auxquels on mène les divers développements limités intervenant dans le calcul. On notera éventuellement la parité de la fonction f …

 

 

 

 

On peut travailler sur l’ensemble  sur lequel on a : .

Pour tout réel x de D, on a alors :

 

 

 

Pour obtenir un DL à l’ordre 3, il convient d’obtenir un DL à l’ordre 3 de la fonction . Mais du fait de la multiplication par , il nous faut fournir un DL à l’ordre 5 de la fonction  et, finalement, un DL à l’ordre 5 de la fonction .

 

A partir du développement classique : , on a :

 

 

 

Comme  au voisinage de 0, on a :

 

 

 

Puis :

 

 

 

Finalement :

 

 

 

 

Remarque : on constate que le développement obtenu ne comporte que des termes pairs … Il n’y a rien d’étonnant à cela puisque la fonction f est paire !