Donner une condition nécessaire et suffisante pour que :
1. Le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique ;
2. Le produit de deux matrices antisymétriques soit une matrice antisymétrique.
Analyse
Un exercice très simple d’application directe de la notion de transposition.
Résolution
Soit A et B deux matrices symétriques. On a donc et
.
Il vient alors :
Soit maintenant A et B deux matrices antisymétriques. On a
donc : et
.
Il vient alors :
Résultat final
Le produit de deux matrices symétriques (respectivement antisymétriques) est une matrice symétrique (respectivement antisymétrique) si, et seulement si, ces deux matrices commutent (respectivement anticommutent).