On extrait une carte au hasard d’un jeu classique de 32 cartes.
Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « La carte tirée est le roi de trèfle » ;
B : « La carte tirée est un roi ou un trèfle » ;
C : « La carte tirée n’est ni un roi, ni un trèfle ».
Analyse
La détermination de l’univers ne pose pas de difficulté particulière (ni le nombre d’issues de l’expérience aléatoires !). Les calculs de probabilité demandés requièrent de définir précisément les événements proposés.
Résolution
Détermination de l’univers et du nombre d’issues
L’univers est l’ensemble des 32 cartes du jeu.
Il comporte donc 32 éléments (les issues de l’expérience aléatoire), chaque élément correspondant à une carte du jeu.
Chaque carte du jeu est complètement définie par sa valeur (du 2 à l’as) et sa couleur.
Calculs des probabilités des événements A, B et C
Calcul de la probabilité de l’événement
A :
L’événement A contient un seul élément correspond au roi de trèfle. Il est donc réalisé pour cette seule issue. On en déduit immédiatement :
Calcul de la probabilité de l’événement
B :
Les issues réalisant l’événement B correspondent aux cartes suivantes : les 8 trèfles et les quatre rois. Mais avec un tel décompte, on comptabilise deux fois le rois de trèfle !
Il y a donc un total de 13 issues qui réalisent l’événement B et on a :
Calcul de la probabilité de l’événement
C :
D’après la question précédente, les cartes qui ne sont ni
des trèfles ni des rois sont au nombre de .
Il vient alors immédiatement :
On peut également écrire que l’événement C est l’événement contraire de l’événement B. Il vient alors :
Résultat final
Les probabilités des événements :
A : « la carte tirée est le roi de trèfle » ;
B : « la carte tirée est un roi ou un trèfle » ;
C : »la carte tirée n’est ni un roi ni un trèfle ».
sont égales à :
,
et