Soit G un supplémentaire de  dans E et soit  la restriction de  à G.

 

Par définition de , son noyau est :

 

 

L’application  est donc injective.

 

Par ailleurs, on a immédiatement : .

 

Soit maintenant  un élément de . Il existe donc un vecteur  tel que : .

Comme G et  sont supplémentaires dans E, il existe un unique couple  dans  tel que .

Il vient alors : . Soit : , c'est-à-dire : .

On déduit de ce qui précède :  

 

Les inclusions  et  nous donnent immédiatement : . En d’autres termes, l’application  est surjective de G dans .

 

Finalement :  est bijective de G dans .

 

On a ainsi établi l’existence d’un isomorphisme entre G et .

 

 

Supposons maintenant que l’espace vectoriel E soit de dimension finie (notée  ).

Il en va alors de même du noyau de  en tant que sous-espace vectoriel de E.

 

Soit alors G un supplémentaire quelconque de  dans E. En tant que sous-espace vectoriel de E, il est également de dimension finie. D’après le résultat précédent, il est isomorphe à  et on a donc : .

Comme : , il vient finalement :

 

 

Le résultat est ainsi établi.